RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus serta beberapa contoh soal.

1. Perkalian Sinus dan Kosinus

Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

        cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

        cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

        sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

        sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

        cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

        cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

        cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :
 

          cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)

          cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :

cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :

       sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

       sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

       sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :

        sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)

        sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)

Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh

        sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β

Jadi, perkalian cosinus dan sinus :

       

Contoh Soal 1 :

Hitunglah:

a. cos 75° cos 15° 

b. –2 sin 15°sin 75°

Pembahasan :

a. cos 75° cos 15°    = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)

                                 = 1/2 (cos 90 + cos 60)°

                                 = 1/2 (0 + 1/2) 

                                 = 1/4

b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°

                                 = cos 90° – cos (–60)°

                                 = cos 90° – cos 60°

                                 = 0  - 1/2)  

                                 = - 1/2

Contoh Soal 2 :

Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.

Penyelesaian :

4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]

                                          = 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]

                                          = 2 sin 72°[0 + sin72°]

                                          = 2 sin cos 2 (72°)

                                          = 1 – cos2(72°)

                                          = 1 – cos144°

Contoh Soal 3 : 

Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....

Penyelesaian :

4 sin 36° cos 72° sin 108°= 4 sin 36° cos 72°sin 108° 

                                         = 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] 

                                         = 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] 

                                         = 2 sin 36°[0 + sin 36°] 

                                         = 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)

                                         = 1 – cos 72°