CONTOH DAN PEMBAHASAN PROGRAM LINIER

Contoh 1 :

Luas daerah parkir 1.760 2 Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 dan mobil besar 20 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah….

    A. Rp 176.000,00
    B. Rp 200.000,00
    C. Rp 260.000,00
    D. Rp 300.000,00
    E. Rp 340.000,00

Pembahasan
Membuat model matematika dari soal cerita di atas
Misal:
mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:
4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi
x + 5y ≤ 440…….(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:
x + y ≤ 200 …………..(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:
f(x, y) = 1000 x + 2000 y 

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2
Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,
Garis 1
x + 5y = 440
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 5(0) = 440
x = 440
Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =0
0 + 5y = 440
y = 440/5 = 88
Dapat titik (0, 88)
atau gunakan tabel :

x	0	440
y	88	0

Garis 2
x + y = 200                       

Titik potong sumbu x, y = 0        
x + 0 = 200
x = 200
Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =0
0 + y = 200
y = 200
Dapat titik (0, 200)
atau gunakan tabel berikut :

x	0	200
y	200	0

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2
Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.

x + 5y = 440
x + y = 200
____________ _
4y = 240
y = 60

x + y =200
x + 60 = 200
x = 140
Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

 

Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:
Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah  ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0
Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000
Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000
Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000 

Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000

Contoh 2:

Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
 

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah….
    A. 88
    B. 94
    C. 102
    D. 106
    E. 196

Pembahasan
Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:

y − y1 = m (x − x1)

dengan

m = Δy/Δx

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/−12 = − 5/3

y − 20 = − 5/3 (x − 0)
y − 20 = − 5/3 x
y + 5/3 x = 20
3y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :
m = 15/−18 = − 5/6

y − 15 = − 5/6 (x − 0)
y + 5/6 x = 15
6y + 5x = 90

Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90
3y + 5x = 60
_________ -
3y = 30
y = 10
3(10) + 5x = 60
5x = 30
x = 6
Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y
Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0
Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84
Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90
Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

Contoh  3:

Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?
    A. 6 jenis I
    B. 12 jenis II
    C. 6 jenis I dan 6 jenis II
    D. 3 jenis I dan 9 jenis II
    E. 9 jenis I dan 3 jenis II 

Pembahasan
Barang I akan dibuat sebanyak x unit
Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:

x + 3y ≤ 18
2x + 2y ≤ 24

Fungsi objektifnya:
f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong
x + 3y = 18 |x2|
2x + 2y = 24 |x 1| 

2x + 6y = 36
2x + 2y = 24
____________ _
4y = 12
y = 3
2x + 6(3) = 36
2x = 18
x = 9
Titik potong kedua garis (9, 3) 

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y
Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0
Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000
Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000
Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.