MATEMATIKA ITU GAMPANG: Juli 2013

Minggu, 28 Juli 2013

Tabel Distribusi Frekuensi untuk Data Berkelompok

Diketahui tabel sebagai berikut :

17	24	35	46	49	47	86	43	45	76
43	87	56	89	78	53	72	65	13	21
67	56	43	35	82	16	37	54	66	70
24	21	69	76	57	82	85	32	65	43
32	27	58	71	83	87	88	40	37	27

Perhatikan bahwa bilangan-bilangan di atas mempunyai penyebaran yang cukup besar yaitu dengan nilai terkecil 13 dan nilai terbesar 89. Untuk data semacam ini maka tabel distribusi frekuensi yang perlu dibuat adalah tabel distribusi frekuensi untuk data berkelompok (data terbagi dalam kelas-kelas interval). Adapun langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah:

Menentukan Jangkauan (J)

J = Datum terbesar – Datum terkecil
Menentukan banyaknya kelas interval (k)

k = 1 + 3,3 log n , dimana n adalah banyaknya data.

Hasilnya dapat dibulatkan ke atas atau ke bawah.
Menentukan panjang kelas interval

Panjang kelas interval = (Jangkauan / Banyaknya kelas interval). (usahakan panjang kelas ganjil, supaya nilai tengahnya bulat, perhatikan langkah ke 2)
Menentukan batas bawah kelas interval pertama: bisa dimulai dari nilai terkecil

Langkah-langkah ini sangat penting dipahami sebelum membuat tabel distribusi frekuensi.

Mari kita buat tabel distribusi frekuensi dari data di atas sesuai dengan langkah yang telah diuraikan di atas:

Jangkauan (J) = Datum terbesar – Datum terkecil

Datum terbesar = 89 Datum terkecil = 13

Jangkauan (J) = 89 – 13 = 76

Jadi jangkauan datanya adalah 76
Banyaknya kelas interval (k)

k = 1 + 3,3 log n , dimana n = banyaknya data (n=50)

k = 1 + 3,3 log 50

k = 1 + 3,3 (1,69)

k = 1 + 5,57

k = 6,67 ~ 7

Jadi banyaknya kelas yang harus dibuat adalah 7 kelas
Panjang interval kelas (c)

c = Jangkauan / Banyaknya kelas interval atau c = J / k

c = 76 / 7 = 10,86 ~ 11

Jadi, panjang interval kelas adalah 11
Kelas pertama:
- Ambil datum terkecil sebagai batas bawah kelas pertama-hal ini tidak harus datum terkecil, hanya untuk memudahkan. Usahakan titik tengahnya berupa bilangan bulat.
- Jumlahkan datum terkecil dengan panjang interval kelas kemudian kurangi satu (1)
- Panjang interval kelas pertama = (13 + 11) – 1 = 23
- Jadi interval kelas pertama adalah (13 - 23)

Kelas Kedua
- Batas bawah kelas kedua kita mulai dari 24 (melanjutkan batas atas kelas pertama) atau batas bawah kelas pertama ditambah c (panjang kelas)
- Panjang interval kelas kedua= (24+11)–1 = 34
- Jadi, interval kelas kedua adalah (24 - 34)

Kelas ke-3 sampai kelas ke-7 dapat ditentukan dengan cara yang sama diatas (lihat langkah 4 & 5)

Bila sudah selesai, kamu akan memperoleh tabel seperti berikut ini:

Kelas	D a t a	Turus	Frekuensi
1	13 - 23	IIIII	5
2	24 - 34	IIIII I	6
3	35 - 45	IIIII IIIII	10
4	46 - 56	IIIII II	7
5	57 - 67	IIIII I	6
6	68 - 78	IIIII I	7
7	79 - 89	IIIII IIII	9
	J u m l a h		50

Mudah bukan.

Minggu, 21 Juli 2013

Ukuran Letak Data

a. Kuartil data berkelompok

Kuartil adalah nilaiyang membagi data menjadi 4 bagian yang sama besar, sehingga terdapat 3 kuartil yaitu kuartil pertama ( Q1 ), kuartil kedua ( Q2 ), kuartil ketiga ( Q3 ). Untuk menetukan kuartil, datanya harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil ke yang terbesar. Kecuali datanya sudah tersaji dalam bentuk tabel, karena biasanya data dalam tabel sudah terurut dari yang kecil ke yang besar. Untuk data yang tersaji dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, rumus mencari kuartilnya sebagai berikut:

$Kuartil=L_i+(\frac{\frac{i}{4}n-(\sum f)_i}{f_i}).c$

Keterangan:

Li = tepi bawah kelas kuartil

n = jumlah data

$(\sum f)$ i = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil

fi = frekuensi kelas kuartil

c = panjang kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tabel di bawah ini merupakan nilai ulangan matematika kelas XI IPA.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan median dari data di atas !

Jawab:

Data	Frekuensi	$(\sum f)$
41 - 50	8	8
51 - 60	5	13
61 - 70	14	27
71 - 80	8	35
81 - 90	3	38
91 - 100	2	40

Untuk contoh, kita saya berikan contoh untuk menentukan kuartil pertama

$Letak Q_1=\frac{1}{4}. 40 = 10$

Nah sekarang kita tentukan nilai dari kuartil pertamanya, masih ingat rumusnya?

$Kuartil=L_i+(\frac{\frac{i}{4}n-(\sum f)_i}{f_i}).c$

$Kuartil_1=50,5+(\frac{\frac{1}{4}40-8}{5}).10$

$Kuartil_1=54,5$

Untuk kuartil ke dua nilainya akan sama dengan Median. Sedangkan untuk kuartik ketiga, silahkan pembaca untuk mencobanya.

Ukuran Pemusatan Data Berkelompok (2)

b. Modus data berkelompok

Modus adalah data yang sering muncul atau data yang memiliki frekuensi terbesar. Untuk data yang di sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, kita dapat dengan mudah menentukan letak modus dengan cara melihat kelas interval yang mempunyai frekuensi paling besar. Untuk menentukan nilainya, gunakan rumus di bawah ini

$M_{o}=L+(\frac{\partial _1}{\partial _1+\partial \p_2}).c$

Keterangan:

$M_{o}$ = frekuensi kelas ke i

L = tepi bawah kelas modus

$\partial_1$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

$\partial_2$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c = panjang kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tabel di bawah ini merupakan nilai ulangan matematika kelas XI IPA.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan modus dari data di atas !

Jawab:

Dari tabel, kelas yang memiliki frekuensi terbesar adalah kelas ke 3
Sehingga

L = 60,5

$\partial_1$ =14 - 5 = 9

$\partial_2$ =14 - 8 = 6

c = 10

Setelah itu subtitusikan ke dalam rumus

$M_{o}=L+(\frac{\partial _1}{\partial _1+\partial \p_2}).c$

$M_{o}=60,5+(\frac{9}{9+6}). 10$

$M_{o}=60,5+6 = 66,5$

Jadi modus dari data di atas adalah 66, 5

Mudah bukan?

b. Median data berkelompok

Median adalah nilai tengah data, untuk menetukan median, datanya harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil ke yang terbesar. Kecuali datanya sudah tersaji dalam bentuk tabel, karena biasanya data dalam tabel sudah terurut dari yang kecil ke yang besar. Untuk data yang tersaji dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, rumus mencari mediannya sebagai berikut:

$Median=L+(\frac{\frac{1}{2}n-(\sum f)}{f_{med}}).c$

Keterangan:

L = tepi bawah kelas median

n = jumlah data

$(\sum f)$ = jumlah frekuensi sebelum kelas median

${f_{med}}$ = frekuensi kelas median

c = panjang kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tabel di bawah ini merupakan nilai ulangan matematika kelas XI IPA.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan median dari data di atas !

Jawab:

Data	Frekuensi	$(\sum f)$
41 - 50	8	8
51 - 60	5	13
61 - 70	14	27
71 - 80	8	35
81 - 90	3	38
91 - 100	2	40

Median ada pada kelas ke 3, mengapa?

$Median=L+(\frac{\frac{1}{2}n-(\sum f_k)}{f_{med}}). c$

$Median=60,5+(\frac{\frac{1}{2}x40-(13}{14}). 10$

$Median=60,5+5$

$Median=65,5$

Bagaimana?

Gampang bukan?

17	24	35	46	49	47	86	43	45	76
43	87	56	89	78	53	72	65	13	21
67	56	43	35	82	16	37	54	66	70
24	21	69	76	57	82	85	32	65	43
32	27	58	71	83	87	88	40	37	27

17	24	35	46	49	47	86	43	45	76
43	87	56	89	78	53	72	65	13	21
67	56	43	35	82	16	37	54	66	70
24	21	69	76	57	82	85	32	65	43
32	27	58	71	83	87	88	40	37	27

17	24	35	46	49	47	86	43	45	76
43	87	56	89	78	53	72	65	13	21
67	56	43	35	82	16	37	54	66	70
24	21	69	76	57	82	85	32	65	43
32	27	58	71	83	87	88	40	37	27