PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SINUS DAN KOSINUS

2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian sinus dan kosinus di  sub bab 1. dapat ditulis dalam rumus berikut.

        cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (1)

        cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (2)

        sin  (α + β) + sin  (α – β) = 2 sin α cos β .... (3)

        sin  (α + β) – sin  (α – β) = 2 cos α sin β .... (4)

Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh

         p + q = (α + β) + (α – β) = 2α

                                                   α = 1/2 (p + q) ............................ (5)

          p – q = α + β – α + β = 2β

                                                   β = 1/2 (p - q) ............................ (6)

Coba Anda substitusikan persamaan (5) dan (6) pada rumus (1) sampai (4). Apakah Anda memperoleh kesimpulan berikut?

         cos p + cos q = 2 cos 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

         cos p – cos q = –2 sin 1/2 (p + q) sin 1/2 (p – q)

         sin p + sin q = 2 sin 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

         sin p – sin q = 2 cos 1/2 (p + q) sin  1/2 (p – q)

Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.

             
           
             
             

Contoh Soal 4 :

sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 (105 + 15)° cos 1/2 (105 – 15)°

                              = 2 sin 1/2 (120)° cos 1/2 (90)°

                              = 2 sin 60° cos 45°

                              
Contoh Soal 5 :

cos 75° – cos 15° = –2 sin 1/2 (75° + 15°) sin 1/2 (75° – 15°)

                             = –2 sin 45° sin 30°

                             
Contoh Soal 6 :

Nilai dari sin 105° – sin 15° adalah ....

Jawaban :

sin 105° – sin 15° = 2 cos 1/2 (105° - 15°) sin 1/2 (105° - 15°)
                             = 2 cos 45° sin 45°