Ukuran Pemusatan Data Berkelompok (2)

b. Modus data berkelompok

Modus adalah data yang sering muncul atau data yang memiliki frekuensi terbesar. Untuk data yang di sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, kita dapat dengan mudah menentukan letak modus dengan cara melihat kelas interval yang mempunyai frekuensi paling besar. Untuk menentukan nilainya, gunakan rumus di bawah ini

Keterangan:

  = frekuensi kelas ke i

   L   = tepi bawah kelas modus

    = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

    = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

   c  = panjang kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tabel di bawah ini merupakan nilai ulangan matematika kelas XI IPA.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan modus dari data di atas !

Jawab: 

Dari tabel, kelas yang memiliki frekuensi terbesar adalah kelas ke 3
Sehingga 

  L  =  60,5

      =14 - 5 = 9

      =14 - 8 = 6

    c   = 10  

Setelah itu subtitusikan ke dalam rumus 

Jadi modus dari data di atas adalah 66, 5


Mudah bukan?


b. Median data berkelompok

Median adalah nilai tengah data, untuk menetukan median, datanya harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil ke yang terbesar. Kecuali datanya sudah tersaji dalam bentuk tabel, karena biasanya data dalam tabel sudah terurut dari yang kecil ke yang besar. Untuk data yang tersaji dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, rumus mencari mediannya sebagai berikut:

Keterangan:

    L   = tepi bawah kelas median

    n   = jumlah data

 = jumlah frekuensi sebelum kelas median

 = frekuensi kelas median

   c  = panjang kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tabel di bawah ini merupakan nilai ulangan matematika kelas XI IPA.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan median dari data di atas !

Jawab: 

Data	Frekuensi
41 - 50	8	8
51 - 60	5	13
61 - 70	14	27
71 - 80	8	35
81 - 90	3	38
91 - 100	2	40

Median ada pada kelas ke 3, mengapa?









Bagaimana?

Gampang bukan?

Ukuran Pemusatan Data Berkelompok (1)

Data berkelompok merupakan data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Untuk menghitung ukuran pemusatan data berkelompok, agak berbeda dari cara menghitung ukuran pemusatan data tunggal. Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut:

Rata-rata data berkelompok

Untuk mencari rata-rata data berkelompok, caranya ada tiga, yaitu cara biasa, cara rataan sementara dan cara coding. Oke, sekarang kita bahas satu persatu ya…

a. Cara biasa

Mengapa disebut cara biasa? Karena prinsipnya sama saja dengan menghitung nilai rataan untuk data tunggal. Rumus yang digunakan yaitu:

Keterangan:

 = frekuensi kelas ke i

 = titik tengah kelas ke i

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tabel di bawah ini merupakan nilai ulangan matematika kelas XI IPA.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan rata-rata dari data di atas !

Jawab: 

Untuk menyelesaikan soal di atas, supaya mudah kita siapkan tabel berikut:

Data			.
41 - 50	8	45,5	364
51 - 60	5	55,5	277,5
61 - 70	14	65,5	917
71 - 80	8	75,5	604
81 - 90	3	85,5	256,5
91 - 100	2	95,5	191
Jumlah	40		2610

Setelah itu subtitusikan ke dalam rumus 

Mudah bukan?
Yang perlu di perhatikan disini adalah ketelitian kita dalam menghitung.

b. Menghitung rata-rata data berkelompok dengan menggunakan rataan sementara

Cara ini disebut cara rataan sementara karena kita terlebih dahulu menentukan nilai titik tengah yang akan kita asumsikan sebagai rataan sementara. Rumus untuk menentukan nilai rata-rata data berkelompok dengan menggunakan rataan semetara adalah:

Keterangan:

 = frekuensi kelas ke i

 = rataan sementara diambil dari salah satu 

  atau nilai tengah - rataan sementara

Perhatikan contoh sebelumya. 

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan rata-rata dari data di atas !

Jawab: 

Untuk menyelesaikan soal di atas, supaya mudah kita siapkan tabel berikut:

Data				.
41 - 50	8	45,5	-20	-160
51 - 60	5	55,5	55,5-65,5 =-10	-50
61 - 70	14	65,5	0	0
71 - 80	8	75,5	10	80
81 - 90	3	85,5	20	60
91 - 100	2	95,5	30	60
Jumlah	40			-10

. Kita ambil 65,5 sebagai  Kita juga bisa menggunakan nilai tengah yang lain untuk 


Setelah itu subtitusikan ke dalam rumus 

Kita ambil 75,5 sebagai  

Data				.
41 - 50	8	45,5	-30	-240
51 - 60	5	55,5	-20	-100
61 - 70	14	65,5	-10	-140
71 - 80	8	75,5	0	0
81 - 90	3	85,5	10	30
91 - 100	2	95,5	20	40
Jumlah	40			-410

Mudah yang mana? cara biasa atau menggunakan rataan sementara?

Deret Fibonacci dalam Segitiga Pascal

Sekilas Mengenai Deret Fibonacci

Bagi Anda yang sudah lulus SMU pasti pernah mendengar deret Fibonacci di pelajaran Matematika. 

Apa sih deret Fibonacci? Deret Fibonacci adalah urutan angka (deret angka) yang disusun oleh Leoanardo Fibonacci pada tahun 1175 – 1245 M. Bilangan fibonacci dikenal juga dengan sebutan the golden number of human life.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada pekali binomial dalam sebuah segitiga. Supaya jelas simak segitiga berikut:

Keliahatan kan bentuk segitiganya. Di sini sebagai contoh hanya dinuat sampai 7 baris kalau mau meneruskan dipersilahkan. Sederhana sekali kan cara hitungnya, tinggal jumlahkan saja angka pada baris di atasnya. Misalnya pada baris ke dua tertulis  1-2-1, itu dapatnya dari penjulahan 0+1=1 , 1+1=2 dan 1+0=1. Lohhh…tapi 0 kan ga ada di situ?? hayooo dimana??.

Lalu kaitan deret Fibonacci dengan segitiga Pascal apa?

Perhatikan segitiga Pascal berikut:

Jumlahkan tiap angka yang dilalui garis

1=1

1=1

1+1=2

1+2=3

1+3+1=5

.

.

.

1+8+21+20+5=55

Para ilmuwan di zaman dahulu kala mempercayai bahwa deret Fibonacci adalah salah satu bukti adanya Tuhan. 
Salah satu alasan mereka adalah hampir semua ciptaan Tuhan dianggap mempunyai angka Fibonacci dalam hidupnya, baik itu tumbuhan, hewan, maupun manusia.

Berikut beberapa fakta yang ditemukan di alam ini.

1. Jumlah Daun pada Bunga (petals)

Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret fibonacci. contohnya:

- jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris

- jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok)

- jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria,

- jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory

- jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum

- jumlah daun bunga 55,89 : michaelmas daisies, the asteraceae family

Ingin liat bukti lainnya? silahkan diamati beberapa gambar berikut

2. Pola Bunga

Pola bunga juga menunjukkan adanya pola fibonacci ini, misalnya pada bunga matahari.

Dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, polanya mengikuti deret fibonacci.

3. Tubuh Manusia

Tangan
Bila Anda ukur panjang jari Anda, kemudian Anda bandingkan dengan panjang lekuk jari, maka akan ketemu 1.618.

penjelasan :
Coba bagi tinggi badan Anda dengan jarak pusar ke telapak kaki, maka hasilnya adalah 1.618.
Bandingkan panjang dari pundak ke ujung jari dengan panjang siku ke ujung jari, maka hasilnya adalah 1.618.

Bandingkan panjang dari pinggang ke kaki dengan panjang lutut ke kaki, maka hasilnya adalah 1.618
Semua perbandingan ukuran tubuh manusia adalah 1.618. benarkah? silahkan membuktikannya. 

Fakta-Fakta Lain

kerang laut-fibonacci

1. jumlah lebah betina pasti lebih banyak dari jantan bukan? Kalau dibandingkan antara jumlah lebah betina dengan jumlah lebah jantan, maka hasilnya adalah 1.618
2. Kerang laut, kerang laut memiliki cangkang keras yang berbentuk spiral. kalau dibandingkan antara panjang garis spiral paling depan dengan berikutnya, maka hasilnya adalah 1.618
3. Daun, tangkai, serangga, dan semua yang berbentuk spiral, bila dibandingkan antara panjang spiral terakhir dengan sebelumnya, maka hasilnya akan selalu 1.618.
4. Kabarnya, Stradivarius, pencipta biola, juga menggunakan angka ini dalam peletakan lubang di biola.

Selanjutnya terdapat juga dalam bangunan phartenon karya arsitektur Phidias yang menghasilkan angka phi 1.618, perkembangbiakan sepasang kelinci dll

Apakah hal ini kebetulan? Atau memang ini sebenarnya adalah segala sesuatu yang telah dirancang oleh-Nya untuk menunjukkan kebesaran-Nya?