Selasa, 29 Oktober 2013

RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT SETENGAH.

Di bawah ini saya akan mencoba membantu menurunkan rumus trigonometri sudut setengah.

Berdasarkan rumus  , kita misalkan  , sehingga
           \cos \alpha = 2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1.
           2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1= \cos \alpha
           2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = 1+\cos \alpha
           \cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1+ \cos \alpha}{2}, kedua ruas ditarik akar, diperoleh
          \cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}. …….. (1)
Dari rumus \cos 2x = 1- 2 \sin^{2}x , dan dengan sedikit manipulasi aljabar seperti di atas kalian akan mendapatkan rumus \sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}  ….. (2)
Dari pers .(1 ) dan  pers. (2) akan diperoleh :
         \tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin \frac{1}{2}\alpha}{cos \frac{1}{2}\alpha}
         \tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}}
         \tan \frac{1}{2}\alpha =\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}, sehingga
         \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}…… (3)
Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan \frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}.
        \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}.\frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}
        \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{1 - \cos ^{2}\alpha}
        \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{\sin ^{2}\alpha}, kedua ruas ditarik akar diperoleh:
        \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin \alpha \neq 0 …. (4)
Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan \frac{1+ \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}.
        \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}.\frac{1+\cos \alpha}{1 +\cos \alpha}
        \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos ^{2}\alpha}{(1 + \cos \alpha)^{2}}
        \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin^{2}\alpha}{(1 + \cos \alpha)^{2}}, kedua ruas ditarik akar diperoleh:
        \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} ,\cos \alpha \neq -1 ….. (5).
Kesimpulan :
Dari pembahasan diatas diperoleh lima rumus untuk sudut setengah :
1. \cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}
2. \sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}
3. \tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}
4. \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin \alpha \neq 0
5. \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} ,\cos \alpha \neq -1
Diposting oleh di

23 komentar:

  1. Unknown7 Mei 2014 pukul 03.15

    mumet ndasku pakdhe........

    BalasHapus
  2. Unknown13 Maret 2017 pukul 16.32

    carane pundi

    BalasHapus
  3. Unknown20 Agustus 2017 pukul 18.19

    gampang ndasmu

    BalasHapus
  4. Unknown7 September 2017 pukul 18.45

    Nguquq

    BalasHapus
  5. Syifah13 September 2017 pukul 17.41

    Terima Kasihh.. Nice Explanation :)

    BalasHapus
  6. Syifah13 September 2017 pukul 17.43

    Terima Kasihh.. Nice Explanation :)

    BalasHapus
  7. m12 Maret 2018 pukul 22.39

    gampang ndasmu wkwkwk

    BalasHapus
  8. Unknown28 Agustus 2018 pukul 01.04

    Itu kenapa untuk mencari yang sin 1/2a menggunakan cos2a kenapa ngga yang lain?

    BalasHapus
  9. Unknown1 Oktober 2018 pukul 19.38

    Apakah setengah sudut sama sudut paruh atau sudut setengah itu sama ?😅

    BalasHapus
  10. Unknown17 Oktober 2018 pukul 19.47

    Maybe

    BalasHapus
  11. hsheyy29 November 2018 pukul 04.15

    mtk itu Gampang(G=k)

    BalasHapus
  12. Unknown25 September 2019 pukul 06.20

    Sumpah gak guna banget

    BalasHapus
  13. Unknown29 September 2019 pukul 22.34

    Iya gampang ya:')

    BalasHapus
  14. Ananda_An2 Oktober 2019 pukul 18.07

    YowesSuon

    BalasHapus
  15. Rezekika38 Oktober 2019 pukul 05.07

    Thank you

    BalasHapus
  16. gilangriyanto14 Oktober 2019 pukul 06.07

    Gile gile

    BalasHapus
  17. Anonim21 Oktober 2019 pukul 18.09

    mudah :')

    BalasHapus
  18. Unknown6 November 2019 pukul 16.19

    Gampang cocotmu.

    BalasHapus
  19. Unknown6 November 2019 pukul 16.20

    🖕

    BalasHapus
  20. Unknown6 November 2019 pukul 16.22

    Iyaa gampang cekalii ampe pala w mau w copot;)

    BalasHapus
  21. Anonim14 November 2019 pukul 17.10

    Mantap jiwa

    BalasHapus
  22. Anonim1 Desember 2019 pukul 18.05

    Terimakasih

    BalasHapus
  23. Anonim21 Oktober 2020 pukul 23.55

    hihi

    BalasHapus

Langganan: Posting Komentar (Atom)