MATEMATIKA ITU GAMPANG

Jumat, 19 Juli 2013

Ukuran Pemusatan Data Berkelompok (1)

Data berkelompok merupakan data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Untuk menghitung ukuran pemusatan data berkelompok, agak berbeda dari cara menghitung ukuran pemusatan data tunggal. Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut:

Rata-rata data berkelompok

Untuk mencari rata-rata data berkelompok, caranya ada tiga, yaitu cara biasa, cara rataan sementara dan cara coding. Oke, sekarang kita bahas satu persatu ya…

a. Cara biasa

Mengapa disebut cara biasa? Karena prinsipnya sama saja dengan menghitung nilai rataan untuk data tunggal. Rumus yang digunakan yaitu:

Keterangan:

= frekuensi kelas ke i

= titik tengah kelas ke i

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Tabel di bawah ini merupakan nilai ulangan matematika kelas XI IPA.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan rata-rata dari data di atas !

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal di atas, supaya mudah kita siapkan tabel berikut:

Data			.
41 - 50	8	45,5	364
51 - 60	5	55,5	277,5
61 - 70	14	65,5	917
71 - 80	8	75,5	604
81 - 90	3	85,5	256,5
91 - 100	2	95,5	191
Jumlah	40		2610

Setelah itu subtitusikan ke dalam rumus

Mudah bukan?
Yang perlu di perhatikan disini adalah ketelitian kita dalam menghitung.

b. Menghitung rata-rata data berkelompok dengan menggunakan rataan sementara

Cara ini disebut cara rataan sementara karena kita terlebih dahulu menentukan nilai titik tengah yang akan kita asumsikan sebagai rataan sementara. Rumus untuk menentukan nilai rata-rata data berkelompok dengan menggunakan rataan semetara adalah:

$\overline{x}=\overline{x_s}+\frac{\sum_{i=1}^{n}{f_i.d_i}}{\sum_{i=1}^{n}{f_i}}$

Keterangan:

= frekuensi kelas ke i

= rataan sementara diambil dari salah satu

atau nilai tengah - rataan sementara

Perhatikan contoh sebelumya.

Data	Frekuensi
41 - 50	8
51 - 60	5
61 - 70	14
71 - 80	8
81 - 90	3
91 - 100	2

Tentukan rata-rata dari data di atas !

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal di atas, supaya mudah kita siapkan tabel berikut:

Data				.
41 - 50	8	45,5	-20	-160
51 - 60	5	55,5	55,5-65,5 =-10	-50
61 - 70	14	65,5	0	0
71 - 80	8	75,5	10	80
81 - 90	3	85,5	20	60
91 - 100	2	95,5	30	60
Jumlah	40			-10

. Kita ambil 65,5 sebagai

Kita juga bisa menggunakan nilai tengah yang lain untuk

Setelah itu subtitusikan ke dalam rumus

$\overline{x}=\overline{x_s}+\frac{\sum_{i=1}^{n}{f_i.d_i}}{\sum_{i=1}^{n}{f_i}}$

$\overline{x}=65,5+\frac{-10}{40}=65,5 - 0,25 = 65,25$

Kita ambil 75,5 sebagai

Data				.
41 - 50	8	45,5	-30	-240
51 - 60	5	55,5	-20	-100
61 - 70	14	65,5	-10	-140
71 - 80	8	75,5	0	0
81 - 90	3	85,5	10	30
91 - 100	2	95,5	20	40
Jumlah	40			-410

$\overline{x}=75,5+\frac{-110}{40}=75,5 - 10,25 = 65,25$
Mudah yang mana? cara biasa atau menggunakan rataan sementara?

Sabtu, 09 Maret 2013

Deret Fibonacci dalam Segitiga Pascal

Sekilas Mengenai Deret Fibonacci

Bagi Anda yang sudah lulus SMU pasti pernah mendengar deret Fibonacci di pelajaran Matematika.

Apa sih deret Fibonacci? Deret Fibonacci adalah urutan angka (deret angka) yang disusun oleh Leoanardo Fibonacci pada tahun 1175 – 1245 M. Bilangan fibonacci dikenal juga dengan sebutan the golden number of human life.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada pekali binomial dalam sebuah segitiga. Supaya jelas simak segitiga berikut:

Keliahatan kan bentuk segitiganya. Di sini sebagai contoh hanya dinuat sampai 7 baris kalau mau meneruskan dipersilahkan. Sederhana sekali kan cara hitungnya, tinggal jumlahkan saja angka pada baris di atasnya. Misalnya pada baris ke dua tertulis 1-2-1, itu dapatnya dari penjulahan 0+1=1 , 1+1=2 dan 1+0=1. Lohhh…tapi 0 kan ga ada di situ?? hayooo dimana??.

Lalu kaitan deret Fibonacci dengan segitiga Pascal apa?

Perhatikan segitiga Pascal berikut:

Jumlahkan tiap angka yang dilalui garis

1=1

1+1=2

1+2=3

1+3+1=5

1+8+21+20+5=55

Para ilmuwan di zaman dahulu kala mempercayai bahwa deret Fibonacci adalah salah satu bukti adanya Tuhan.
Salah satu alasan mereka adalah hampir semua ciptaan Tuhan dianggap mempunyai angka Fibonacci dalam hidupnya, baik itu tumbuhan, hewan, maupun manusia.

Berikut beberapa fakta yang ditemukan di alam ini.

1. Jumlah Daun pada Bunga (petals)

Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret fibonacci. contohnya:

- jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris

- jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok)

- jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria,

- jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory

- jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum

- jumlah daun bunga 55,89 : michaelmas daisies, the asteraceae family

Ingin liat bukti lainnya? silahkan diamati beberapa gambar berikut

2. Pola Bunga

Pola bunga juga menunjukkan adanya pola fibonacci ini, misalnya pada bunga matahari.

Dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, polanya mengikuti deret fibonacci.

3. Tubuh Manusia

Tangan
Bila Anda ukur panjang jari Anda, kemudian Anda bandingkan dengan panjang lekuk jari, maka akan ketemu 1.618.

penjelasan :
Coba bagi tinggi badan Anda dengan jarak pusar ke telapak kaki, maka hasilnya adalah 1.618.
Bandingkan panjang dari pundak ke ujung jari dengan panjang siku ke ujung jari, maka hasilnya adalah 1.618.

Bandingkan panjang dari pinggang ke kaki dengan panjang lutut ke kaki, maka hasilnya adalah 1.618
Semua perbandingan ukuran tubuh manusia adalah 1.618. benarkah? silahkan membuktikannya.

Fakta-Fakta Lain

kerang laut-fibonacci

jumlah lebah betina pasti lebih banyak dari jantan bukan? Kalau dibandingkan antara jumlah lebah betina dengan jumlah lebah jantan, maka hasilnya adalah 1.618

Kerang laut, kerang laut memiliki cangkang keras yang berbentuk spiral. kalau dibandingkan antara panjang garis spiral paling depan dengan berikutnya, maka hasilnya adalah 1.618

Daun, tangkai, serangga, dan semua yang berbentuk spiral, bila dibandingkan antara panjang spiral terakhir dengan sebelumnya, maka hasilnya akan selalu 1.618.

Kabarnya, Stradivarius, pencipta biola, juga menggunakan angka ini dalam peletakan lubang di biola.

Selanjutnya terdapat juga dalam bangunan phartenon karya arsitektur Phidias yang menghasilkan angka phi 1.618, perkembangbiakan sepasang kelinci dll

Apakah hal ini kebetulan? Atau memang ini sebenarnya adalah segala sesuatu yang telah dirancang oleh-Nya untuk menunjukkan kebesaran-Nya?

Rabu, 09 Januari 2013

Integral Trigonometri

Untuk membantu menyelesaikan soal, mungkin dibutuhkan rumus-rumus dasar integral untuk trigonometri. Gunakan rumus tersebut beserta dengan rumus penjumlahan sudut maupun teknik integral substitusi untuk mengerjakan soal-soal berikut ini. Selamat berlatih
$1. \int (sin x + 2cos x)dx = - cos x + 2 sin x + c$
$2. \int sec^2 (\frac{\pi }{2}-4x)dx =\frac{1}{4}tg(\frac{\pi }{2}-4x)+c$
$3. \int \frac{cos^{2}x - sin^{^{2}}x}{cos x -sin x} dx =\int \frac{(cos x -sin x)(cos x + sin x)}{cos x -sin x }dx$

$= \int {(cos x + sin x )} dx = sin x - cos x + c$

Kamis, 18 Oktober 2012

Integral tentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real,integral tertentu:

$\int_a^b f(x)\,dx \, ,$

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit daripenjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlahn-1 titik {x₁, x₂, x₃,…, x_{n – 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-ikita nyatakan sebagai Δx_i = x_i – x_{i – 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b].Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat kita tuliskan:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=xb], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$ pada interval [0,
Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b – 0)/n = b/n dan titik t’_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga:

$\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalahintegral tak tentuprimitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai: ataupun

$\int f(x) dx = F(x) + C$

di mana

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).$

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x², maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

$\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk $\int_a^b f(x) dx$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : $\int f(x) dx$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

Teorema dasar

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

$F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).$

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral $\int_a^b x\, dx$ , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann , kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi $f(x)= x\,$ adalah $F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C$ . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu $\int_a^b x \,dx$ adalah:

$\begin{align} \int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\ &= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\ \end{align}$

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

$\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2}$

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu. Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

Aplikasi

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi,bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep dimekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda denganmassa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluksdari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus dihukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.