MATEMATIKA ITU GAMPANG

Rabu, 30 Oktober 2013

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SINUS DAN KOSINUS

2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian sinus dan kosinus di sub bab 1. dapat ditulis dalam rumus berikut.

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (1)

cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (2)

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (3)

sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (4)

Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh

p + q = (α + β) + (α – β) = 2α

α = 1/2 (p + q) ............................ (5)

p – q = α + β – α + β = 2β

β = 1/2 (p - q) ............................ (6)

Coba Anda substitusikan persamaan (5) dan (6) pada rumus (1) sampai (4). Apakah Anda memperoleh kesimpulan berikut?

cos p + cos q = 2 cos 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

cos p – cos q = –2 sin 1/2 (p + q) sin 1/2 (p – q)

sin p + sin q = 2 sin 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

sin p – sin q = 2 cos 1/2 (p + q) sin 1/2 (p – q)

Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.

$cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2}(A+B)cos \frac{1}{2}(A-B)$
$cos A - cos B = -2 sin \frac{1}{2}(A+B)sin \frac{1}{2}(A-B)$
$sin A + sin B = 2 sin \frac{1}{2}(A+B)cos \frac{1}{2}(A-B)$
$sin A - sin B = 2 cos \frac{1}{2}(A+B)sin \frac{1}{2}(A-B)$

Contoh Soal 4 :

sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 (105 + 15)° cos 1/2 (105 – 15)°

= 2 sin 1/2 (120)° cos 1/2 (90)°

= 2 sin 60° cos 45°

$=2.\frac{1}{2}\sqrt{3}.\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{6}$
Contoh Soal 5 :

cos 75° – cos 15° = –2 sin 1/2 (75° + 15°) sin 1/2 (75° – 15°)

= –2 sin 45° sin 30°

$=-2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Contoh Soal 6 :

Nilai dari sin 105° – sin 15° adalah ....

Jawaban :

sin 105° – sin 15° = 2 cos 1/2 (105° - 15°) sin 1/2 (105° - 15°)
= 2 cos 45° sin 45°

$=2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus serta beberapa contoh soal.

1. Perkalian Sinus dan Kosinus

Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :

$cos \alpha .cos\beta =\frac{cos(\alpha +\beta)+cos(\alpha -\beta ) }2\, {}$

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :

cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :

$sin \alpha .sin\beta =\frac{cos\left ( \alpha +\beta \right )-\left cos ( \alpha -\beta \right )}{-2}$

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :

$sin \alpha .cos\beta =\frac{sin\left ( \alpha +\beta \right )+\left sin ( \alpha -\beta \right )}{2}$

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)

Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh

sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β

Jadi, perkalian cosinus dan sinus :

$cos \alpha .sin\beta =\frac{sin\left ( \alpha +\beta \right )-\left sin ( \alpha -\beta \right )}{2}$

Contoh Soal 1 :

Hitunglah:

a. cos 75° cos 15°

b. –2 sin 15°sin 75°

Pembahasan :

a. cos 75° cos 15° = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)

= 1/2 (cos 90 + cos 60)°

= 1/2 (0 + 1/2)

= 1/4

b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°

= cos 90° – cos (–60)°

= cos 90° – cos 60°

= 0 - 1/2)

= - 1/2

Contoh Soal 2 :

Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.

Penyelesaian :

4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]

= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]

= 2 sin 72°[0 + sin72°]

= 2 sin cos 2 (72°)

= 1 – cos2(72°)

= 1 – cos144°

Contoh Soal 3 :

Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....

Penyelesaian :

4 sin 36° cos 72° sin 108°= 4 sin 36° cos 72°sin 108°

= 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°]

= 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°]

= 2 sin 36°[0 + sin 36°]

= 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)

= 1 – cos 72°

Selasa, 29 Oktober 2013

RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT SETENGAH.

Di bawah ini saya akan mencoba membantu menurunkan rumus trigonometri sudut setengah.

Berdasarkan rumus $cos 2x = 2cos^{2}x-1$ , kita misalkan $2x = \alpha \implies x = \frac{1}{2}\alpha$ , sehingga
$\cos \alpha = 2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1$ .

$2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha-1= \cos \alpha$

$2\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = 1+\cos \alpha$

$\cos^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1+ \cos \alpha}{2}$ , kedua ruas ditarik akar, diperoleh

$\cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$ . …….. (1)

Dari rumus $\cos 2x = 1- 2 \sin^{2}x$ , dan dengan sedikit manipulasi aljabar seperti di atas kalian akan mendapatkan rumus $\sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}$ ….. (2)

Dari pers .(1 ) dan pers. (2) akan diperoleh :

$\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin \frac{1}{2}\alpha}{cos \frac{1}{2}\alpha}$

$\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}}$

$\tan \frac{1}{2}\alpha =\sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$ , sehingga

$\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$ …… (3)

Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan $\frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}$ .

$\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}.\frac{1- \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}$

$\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{1 - \cos ^{2}\alpha}$

$\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha =\frac{(1- \cos \alpha)^{2}}{\sin ^{2}\alpha}$ , kedua ruas ditarik akar diperoleh:

$\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin \alpha \neq 0$ …. (4)

Dari persamaan (3) ruas kanan dikalikan dengan $\frac{1+ \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$ .

$\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}.\frac{1+\cos \alpha}{1 +\cos \alpha}$

$\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos ^{2}\alpha}{(1 + \cos \alpha)^{2}}$

$\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin^{2}\alpha}{(1 + \cos \alpha)^{2}}$ , kedua ruas ditarik akar diperoleh:

$\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ , $\cos \alpha \neq -1$ ….. (5).

Kesimpulan :

Dari pembahasan diatas diperoleh lima rumus untuk sudut setengah :

1. $\cos \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

2. $\sin \frac{1}{2}\alpha = \pm \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}$

3. $\tan ^{2}\frac{1}{2}\alpha = \frac{1- \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

4. $\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha}, \sin \alpha \neq 0$

5. $\tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ , $\cos \alpha \neq -1$

Jumat, 25 Oktober 2013

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

A. Rumus-rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Selanjutnya, perhatikanlah gambar di samping. Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,

Dengan mengingat kembali tentang koordinat

Cartesius, maka:

a. koordinat titik A (1, 0)

b. koordinat titik B (cos A, sin A)

c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}

d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B) Ingat sifat cos (-A)= coa A

AC = BD maka AC² + DB² gunakan rumus jarak 2 titik

{cos (A + B) – 1}² + {sin (A + B) – 0}² = {cos B – cos A}² + {–sin B – sin A}²

cos² (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin² (A + B) = cos² B – 2 cos B cos A + cos² A +

sin² B + 2 sin B sin A + sin² A

2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B

2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus cosinus jumlah dua sudut:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Dengan cara yang sama, maka:

cos (A – B) = cos (A + (–B))

cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus cosinus selisih dua sudut:

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Untuk memahami penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, pelajarilah

contoh soal berikut.

Contoh soal:
Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan
cos (A – B).

Penyelesaian:
cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13
sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25
cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B
                   = 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25
                   = 35/325 − 288/325
                   = − 253/325
cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B
                   = 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25
                   = 35/325 + 288/325
                   = 323/325

2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Dengan menggunakan rumus sudut berelasi, cos (90°-A)= sin A
maka sin (A+B) = cos (90°- (A+B))
   = cos (90°- A - B)
   = cos ((90°- A) - B)
   = cos (90°- A) . cos B + sin  (90°- A) . sin B
   = sin A . cos B + cos A . sin B

Rumus sinus jumlah dua sudut:

sin (A + B) = sin A cos B – cos A sin B

Maka rumus sinus jumlah dua sudut:

Dengan cara yang sama, maka:

sin (A – B) = sin {A + (–B)}

= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)

= sin A cos B – cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut:

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami tentang penggunaan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.

Contoh soal:
Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).

Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
                  = 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
                  = –36/65 – 20/65
                  = – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
                  = 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
                  = –36/65 + 20/65
                  = – 16/65

3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus tangen jumlah dua sudut:

$tan(A+B)=\frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

$tan(A-B)=\frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$
Pelajarilah contoh soal berikut agar kamu memahami penggunaan rumus tangen jumlah

dan selisih dua sudut.

Contoh soal:

Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.

Penyelesaian:
tan 105° = tan (60 + 45)°
              = tan 60° tan 45°
   1 tan60 tan45
               $=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\times \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

$=\frac{4+2\sqrt{3}}{1-3}=-2+\sqrt{3}$

Rabu, 02 Oktober 2013

CONTOH DAN PEMBAHASAN PROGRAM LINIER

Contoh 1 :

Luas daerah parkir 1.760 2 $m^{2}$ Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 $m^{2}$ dan mobil besar 20 $m^{2}$ . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah….

    A. Rp 176.000,00
    B. Rp 200.000,00
    C. Rp 260.000,00
    D. Rp 300.000,00
    E. Rp 340.000,00

Pembahasan
Membuat model matematika dari soal cerita di atas
Misal:
mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:
4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi
x + 5y ≤ 440…….(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:
x + y ≤ 200 …………..(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:
f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2
Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,
Garis 1
x + 5y = 440
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 5(0) = 440
x = 440
Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =0
0 + 5y = 440
y = 440/5 = 88
Dapat titik (0, 88)
atau gunakan tabel :

x	0	440
y	88	0

Garis 2
x + y = 200

Titik potong sumbu x, y = 0
x + 0 = 200
x = 200
Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =0
0 + y = 200
y = 200
Dapat titik (0, 200)
atau gunakan tabel berikut :

x	0	200
y	200	0

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2
Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.

x + 5y = 440
x + y = 200
____________ _
4y = 240
y = 60

x + y =200
x + 60 = 200
x = 140
Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:
Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0
Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000
Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000
Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000

Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000

Contoh 2:

Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah….
    A. 88
    B. 94
    C. 102
    D. 106
    E. 196

Pembahasan
Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:

y − y1 = m (x − x1)

dengan

m = Δy/Δx

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/−12 = − 5/3

y − 20 = − 5/3 (x − 0)
y − 20 = − 5/3 x
y + 5/3 x = 20
3y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :
m = 15/−18 = − 5/6

y − 15 = − 5/6 (x − 0)
y + 5/6 x = 15
6y + 5x = 90

Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90
3y + 5x = 60
_________ -
3y = 30
y = 10
3(10) + 5x = 60
5x = 30
x = 6
Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y
Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0
Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84
Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90
Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

Contoh 3:

Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?
    A. 6 jenis I
    B. 12 jenis II
    C. 6 jenis I dan 6 jenis II
    D. 3 jenis I dan 9 jenis II
    E. 9 jenis I dan 3 jenis II

Pembahasan
Barang I akan dibuat sebanyak x unit
Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:

x + 3y ≤ 18
2x + 2y ≤ 24

Fungsi objektifnya:
f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong
x + 3y = 18 |x2|
2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 36
2x + 2y = 24
____________ _
4y = 12
y = 3
2x + 6(3) = 36
2x = 18
x = 9
Titik potong kedua garis (9, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y
Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0
Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000
Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000
Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.